منتدى يعني بالكتب والتقارير العلمية

@ كل @عام @ وانتم@ بالف@خير @

#### عيدكم مبارك .... وعساكم من عواده ####

    نبده مختصره عن تحليلات فوريروتكاملاته

    شاطر

    مروه ليزر

    عدد المساهمات : 204
    نقاط : 550
    تاريخ التسجيل : 31/08/2010

    نبده مختصره عن تحليلات فوريروتكاملاته

    مُساهمة  مروه ليزر في الثلاثاء أغسطس 31, 2010 5:23 am

    نبذة مختصرة عن تحليلات فورير وتكاملاته
    Short Introduction about Fourier Series and its integral.
    إن أي دالة لها صورة موجية أو تكرر نفسها بدورة معينة، مثل الدوال
    يمكن وصفها رياضياً باستخدام مبدأ ،
    A: الموجية الموضحة في شكل 2.1
    أي يمكن التعبير عنها عن طريق جمع ،Principle of super position التراكب
    هذه
    .cos وال جتا sin (أو تراكب) موجات تكتب رياضياً بدلالة ال: جا
    نسبة للعالم فورير
    . Fourier analysis الطريقة الرياضية تُعرف بتحليل فورير
    يمكن
    x حيث ) f (x) وتعتمد هذه الطريقة على أساس أنها يمكن صياغة أي دالة
    أن تمثل الموقع أو الزمن
    ) يمكن أن تكتب في صورة متسلسلة من دوال دورية
    .Fourier series ( (تعرف بسلسلة فورير
    a a cosn x b sin v x..............(A:2 14)
    2
    1
    a a cos x a cos2x ..... a cosn x b sin x b sin 2x ..... b sin n x ........
    2
    f (x) 1
    n 1
    n
    n 1
    u
    1 2 n 1 2 n
    = + + -
    = + + + + + + + + +
    å å¥
    =
    ¥
    =
    °
    °
    a° تتكون هذه المتسلسلة من حد ثابت
    2
    1
    بالإضافة إلى حدود من الجيب
    a1, a لها سعات مختلفة .… , 2 (sine and cosine terms وجيوب التمام
    ترددات الجا والجتا في كل حد من
    .b1, b2, ……… Different amplitudes
    .x التردد الأساسي multiples و مضروبات harmonics الحدود عبارة عن
    للتعبير عن معينة من خلال تحليل فورير فإن
    .Fundamental frequency x
    يلزم تحديدها وذلك بتكامل الدالة b1, b و ..…… , 2 a1, a المعاملات ……… , 2
    2 كما يلي: D خلال دورة كاملة أي من صفر إلى f(x)
    ò ò
    ° °
    = = -
    D D
    D D
    2 2
    n n
    a 1 f (x)cosn x dx , b 1 f (x)sin n x dx.....................(A: 2 15)
    الشكل يوضح أن توليد دالة موجية مربعة:
    PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
    - ٤٠ -
    sin 3x,sinx يتم عن طريق تداخل (أو تراكب) ثلاث موجات جيبية هي
    3
    sin 2x , 1
    2
    1
    a
    ° أول الحدود في متسلسلة فورير
    2
    (A: 2- 1 يمكن كتابته (من معادلة 15
    بالصورة.
    ò°
    D
    D
    2
    f (x)dx
    2
    1
    .2D عبر الفترة f(x) وهذه المعادلة تمثل ببساطة متوسط الدالة
    تحليل فورير والحزم الموجية:
    Wave packets يمكن الاستفادة من تحليل فورير لتمثيل الحزم الموجية
    عند دراسة الحركة الموجية
    Wave pulses وهي عبارة عن نبضات موجية
    لنتحصل على نبضة موجية يلزم تراكب موجات جيبية على مدى متصل من
    يمكننا فهم كيفية تكون حزمة موجية،
    .Δk في مدى قدرته k الأرقام الموجية
    PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
    - ٤١ -
    على سبيل المثال، خذ تراكب عدد سبعة من الموجات الجيبية التي لكل منها
    الصيغة الرياضية
    .
    y A cos (k x ωt) .....................(A : 2 16) k = - -
    تساوي k (Wave umbers) الأرقام الموجية ،t = وعند 0
    تساوي Ak 45 وكل من هذه الأرقام يقابلها سعة , 42, 39, 36, 33, 30 , 27
    يوضح تغير السعة A: 2- 0.25 , 0.33 , 0.5 , 1.0, 0.5 , 0.33 , 0. 25 شكل 3
    .Wave umber spectrum وهي ما يسمى بطيف الرقم الموجي k مع Ak
    Figure A:2-3 the frequency spectrum used to generate the we
    packet shown in Figure 12.84.
    الشكل الموجي لكل موجة من الموجات السبعة وحاصل تراكبها (أو
    .(A: 2- محصلة تراكبها) موضحة في شكل ( 4
    PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
    - ٤٢ -
    كيفية تؤكد حزمة موجية (أسفل الشكل) من تداخل سبعة (A: 2- شكل ( 4
    موجات كالموضحة في أعلى الحزمة الموجية.
    أما في حالة تراكب عدد كبير جداً من الموجات بحيث يمتد تغير الأرقام
    سنتحصل على حزمة موجية واحدة كما هو
    ΔK الموجية عبر عرض قدره
    .A: 2- موضح في الشكل 5
    ......ΔK لاحظ أن عرض الحزمة الموجية
    PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
    - ٤٣ -
    فإن عرض ΔK ويمكن أن نلاحظ نقطة هامة جداً وهي أنه كلما ازدادت
    يقل
    . وهذه النتيجة هامة لأنها الأساس الذي يبنى عليه مبدأ اللاتحديد ΔK الحزمة
    في علم ميكانيكا الكم
    .
    Figure A: 2-5 (a) the wave number spectrum and (b) the wave
    packet. Produced when
    Dk the wave number spread shown in Figure
    A:2-4 becomes broader.
    من الموجات يمكن صياغته infinite number إن تراكب عدد لانهائي
    بدلاً من متسلسلة فورير
    . وهكذا، فعند Fourier integral رياضياً بتكامل فورير
    زمن ثابت، فإن مجموعة من الموجات تعطي ب
    :
    y(x) òA(k)cosk x dk ..........(A: 2 -17)
    ¥
    °
    وسنناقش في هذا الفصل بعد .k هي السعة والتي تتغير مع A(k) حيث
    Δx ,Δk هذه المقدمة، كيف يمكننا، باستخدام تكاملات فورير، أن نوضح أن
    مرتبطتان بالدالة
    .
    (Δ x) (Δ k) = constant ....................(A : 2 -18)
    PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
    - ٤٤ -
    للحزمة الموجية بدلالة الدالة (A: 2- ولعله من المفيد صياغة المعادلة ( 17
    المركبة على الصورة العامة.
    dkA(k)e .............(A: 2 19)
    2
    f ( x )
    = 1 ò ikx -
    ¥
    D
    وإذا أدخلنا الزمن كمتغير لدراسة تأثير الزمن على انتشار الحزمة
    بالصورة
    . (A:2- الموجية يمكن صياغة المعادلة ( 19
    f ( x, t )= òdkA(k)eikx-ω(k) t .............(A: 2 - 20)
    ¥

    فإن الحزمة الموجية المتكونة تكون v عند تداخل موجات سرعة كل منها
    سرعتها تمثل سرعة مجموعة من الموجات المكونة للحزمة وتسمى بسرعة
    وتعطى بالعلاقة
    . vg ويرمز لها ب group velocity المجموعة
    ......................(A: 2 21)
    dk
    v d
    ω g = -
    كيفية إيجاد عرض دالة:
    من النقاط التي تهمنا في هذا الفصل إيجاد عرض دالة وذلك لأهمية
    الموضوع بمبدأ اللاتحديد في ميكانيكا الكم
    .
    A: 2- خذ على سبيل المثال الدالة الموضحة في الشكل 6
    PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
    - ٤٥ -
    والأخرى x = o كلتا الدالتان لهما نفس العرض، ولكن إحداهما متماثلة حول
    y=Ae-α x يمكن كتابتها رياضياً بالصيغة 2 (a) الأول في الشكل .xo متماثلة حول
    y يمثل سعة الدالة أي قيمة A ثابت ومرتبط بعرض الدالة و a حيث
    .x = o عندما
    إحدى الطرق لإيجاد عرض الدالة أن نأخذ العرض عندما تقل الدالة
    (أي
    إلى أن تصل إلى
    2 (y = A من أقصى قيمة (عندما .y عندما تقل قيمة
    ،
    y = A
    .Dx عندها نأخذ عرض الدالة
    كما هو موضح بالشكل
    .
    2 2
    2
    2
    2
    α
    Δ
    x 0.693
    α
    0.693 Δx 0.693
    α
    x 1
    ln 2 0.693
    A/2
    ln A
    A
    نعوض عن
    2
    A y 1
    2
    α x lnA ln 1
    α x lnA ln y
    ln y ln A
    α x
    Þ = Þ = Þ =
    = = =
    = - =
    Þ = -
    = -
    °
    PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
    - ٤٦ -
    يمكن إيجاد تعريف آخر لعرض الدالة وهو أسهل من الطريقة السابقة.
    e من القيمة القصوى إلى أن تصل إلى y نأخذ عرض الدالة عندما تقل قيمة
    1
    وعليه 0.368 e = حيث 2.718
    e
    إلى y 1 أي بدل أن نأخذ العرض عندما تقل =
    إلى 0.368 من y النصف (كما في الطريقة السابقة) نأخذ العرض عندما تقل
    y=Ae-α x قيمتها القصوى.. وسهولة هذه الطريقة من الناحية الرياضية. 2
    خذ مثلاً الدالة السابقة
    e إلى y لكي تقل y = A القصوى هي y قيمة
    1 من قيمتها القصوى، أي ما
    يساوي الواحد
    . عندما يساوي الأس قيمة (α x التي تجعل الأس ( 2 x هي قيمة 2
    )A y Ae واحد فإن 1
    e
    y
    =(1 Ü = -
    α
    Δ
    x 2Δx 2
    α
    Þα x2 =1ÞΔx = 1 Þ = = ° °
    وهذه هي الطريقة التي سنستخدمها لإيجاد عرض الدوال التي لها الصيغة
    الأسية
    . وهناك طرق أخرى لإيجاد عرض الدوال الجيبية.
    وبعد هذا الاستطراد نعود لمناقشة موضوع هذا الفصل وهو الحزم
    الموجية وعلاقات اللاتحديد
    ..
    المعرفة بالعلاقة. f (x) خذ على سبيل المثال الدالة
    PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
    - ٤٧ -
    f (x) = ò dk g (k)eikv ....(2 -1)
    ¥

    k هذه العلاقة تُعبر عن تراكب خطي من موجات ذات طول موجي
    λ 2D ، =
    k إلى x فكل موجة تكرر نفسها عندما تتغير k ولكل قيمة ل
    v 2D . +
    g (k) ولتوضيح طبيعة هذه الحزمة الموجية، دعنا نختار صيغة للدالة
    g (k)=e-α (k - k° ) حيث. 2
    ...(2-2)
    1 αk12 ikv i (u1 k )v
    1
    1
    1
    g (k) g (k ) e and e e
    dk dk
    k k k
    Let k k k
    - + °
    °
    °
    Þ ® = =
    Þ =
    Þ = +
    = -
    2) بالصيغة - بعد هذه التعويضات يمكن كتابة ( 1
    {
    ò
    ò
    ò
    ¥

    -
    - °
    ¥

    ¥

    - + °
    =
    =
    Þ =
    ikov 1 αk12 ik1v
    ثابت
    α
    k12 ik1v ik v
    1
    1
    αk12 i (k1 k )v
    e dk e e
    dk e e .e
    f (x) dk e .e
    ò لحساب قيمة التكامل يجب تحوير صيغته الرياضية للصورة
    ¥

    - -
    2 1 e ak dk
    .................( وذلك لأن قيمة التكامل ( 2 3
    α
    e dk 2
    1
    ò αk12 1 = -
    ¥
    °
    -
    D
    وللوصول لهذه الصورة يلزم أن نجعل الأس مربع كامل حسب الخطوات
    التالية
    .
    ò ò
    ¥

    - - +
    ¥

    = dk1e αk12 .e ik1v dk1 e αk12 ikiv
    ) عامل مشترك في الأس. -a خذ (
    PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
    - ٤٨ -
    ò ò
    ¥

    - -
    ¥

    - +
    = k1v)
    α
    α
    (k12 i dk1 e αk12 ik1v dk1 e
    u v)
    لكي نتحصل على مربع كامل للأس
    α
    نطرح ونضيف الحد (k12 - i 1
    2
    2
    4α
    v
    {
    2
    2 2
    1
    2
    2
    1
    2
    2
    12
    2
    2
    1
    2
    2
    12 1 12
    4α
    ) v
    2
    α
    k ( iv
    4
    α
    k v) v
    α
    i
    4
    α
    (k v
    4
    α
    k v v
    α
    i
    4
    α
    k v k v
    α
    u i
    + úû
    ù
    êë
    = é -
    = - - +
    - = - - +
    123
    فيصبح التكامل على الصورة
    ò
    ¥

    ï ï ï
    þ
    ïï ï
    ý
    ü
    ï ï ï
    î
    ïï ï
    í
    ì
    +
    ú ú ú ú ú
    û
    ù
    ê ê ê ê ê
    ë
    é
    - -
    4α2
    v2
    2
    q
    )
    2
    α
    α
    k1 ( iv
    dk1 e
    14243
    ò ò
    ¥

    ¥

    - - -
    = - =
    14243
    1 αq2 4α
    v2
    4
    α2
    v2 2
    α dk1 e αq .e e dk e
    ò الدالة زوجية وعليه يمكن كتابة التكامل
    ¥
    °
    2 du1 e-αq2
    2 α وقيمة التكامل يساوي
    1 ò
    { .e ..............(2 4)
    α
    f (x) e . 4α
    v2
    phase factor
    \ = ikov -
    D -
    2) دالة تخيلية. ولكي تبعد هذه الدالة على - في ( 4 f (x) لاحظ أن الدالة
    بل مربع القيمة
    f (x) جسم يلزم أن تكون حقيقية. ولهذا السبب فالذي يهمنا ليس
    المطلقة لأنها حقيقية
    .
    PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
    - ٤٩ -
    e ...........(2 5)
    α
    f ( x )
    e )
    α
    e ) (e
    α
    (e
    f (x) f (x) f (x)
    2α
    v2
    2
    4
    α
    x2
    4
    α ikox
    x2
    kox
    2 *
    = -
    =
    =
    -
    - - + -
    D
    D D
    هذه الدالة تمثل جسيم.
    وتعتمد على قيمة v = 2) لها قيمة قصوى (أو قيمة) عند 0 - الدالة ( 5
    a كبيرة تكون الدالة عريضة والعكس صحيح إذا كانت a ، إذا كانت a الثابت
    وكما قلنا فإن
    harrow صغيرة فإن الدالة تعبر عن حزمة موجية ضيقة
    2 تعبر عن جسيم. f (x)
    كما شرحنا في الجزء السابق ، f (x) بإمكاننا أن نوجد عرض الدالة 2
    e عندما تقل قيمتها إلى Dv نأخذ عرض الدالة (A (ملحق
    1 عن أقصى قيمة لها
    e لكي تنذل الدالة من القيمة إلى
    1 هذا يحدث عندما يساوي الأس واحد أي
    عندما
    1
    2
    2
    =
    a
    . v
    Δv 2 2α ................(2 6)
    v
    2 2α Δv 2α
    Þ = -
    Þ = Þ =±
    °
    والذي g (k)=e- α (k - k° ) والتي تعطي ب 2 g (k) نوجد الآن عرض الدالة
    هذه الدالة
    g2 (k)=e- 2α (k - k° )2 g (k) وليس الدالة g2 (k) يهمنا هو عرض الدالة
    PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
    - ٥٠ -
    عرضها يوجد بنفس k = k° بل حول k = وليس حول 0 k° متمركزة حول
    e الطريقة، نوجد العرض عندما تقل الدالة إلى
    1 من قسمتها القصوى.
    ) ...................(2 7)
    2
    α
    Δ
    k = 2ΔΔ =(2)( 1 - °
    Dk 2) والعرض في - في ( 6 Dv لاحظ التناسب العكسي في عرض الدالة
    كلما
    x في فضاء f (x) 2) هذا يعني أنه كلما تميزت الدالة - في العلاقة ( 7
    والعكس صحيح. k انبسطت واستعرضت في فضاء
    Du ,Dv ومن المهم أن ننظر إلى حاصل ضرب العرضين
    . 2 2α 4 ...............(2 Cool
    2
    α
    Δ
    u.Δv =2 1 = -
    [size=21:371

      الوقت/التاريخ الآن هو السبت ديسمبر 03, 2016 6:55 pm